Pemfaktoran 1

Pernah mencoba memfaktorkan persamaan kuadrat namun tidak bisa memperoleh nilai akar-akarnya?

Padahal anda paham betul rumus, cara menghitung, menyelesaikan, mengerjakan, atau mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran. Lalu apa sebenarnya masalahnya?

Masalahnya terletak pada persamaan kuadrat yang tidak bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi, tapi “mungkin” saja bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Cara Penyelesaian

Konsep dasar dari metode melengkapkan persamaan kuadrat sempurna adalah merubah persamaan kuadrat: ax²+ bx + c = 0.

Menggunakan dua sifat utama kuadrat sempurna: x²+ 2dx + d²= (x+d)²= 0 dan x²– 2dx + d²=(x – d)²= 0.

Menjadi bentuk umum melengkapkan persamaan kuadrat sempurna: (x + p)² = q, atau (x – p)² = q, q ≥ 0.

Berikut ini prosedur menentukan akar-akar persamaan kuadrat cara melengkapi bentuk kuadrat sempurna.

$\vspace{1pc} ax^2+bx+c=0\;(\div a)\\ \vspace{1pc} \frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=-\frac{c}{a}+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\ \vspace{1pc} Misalkan\; (\frac{b}{2a})=p\\ \vspace{1pc}maka\;x^2+2px+p^2=-\frac{c}{a}+p^2\\ \vspace{1pc} Misalkan -\frac{c}{a}+p^2=q,\;maka\\ \vspace{1pc} (x+p)^2=q\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+p)^2}=\pm\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}x+p=-\sqrt{q}\mapsto x=-p-\sqrt{q}$

Dari prosedut tersebut, jika diuraikan maka cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna:

Dibagi koefisien a
Konstanta c/a pindah ruas
Ditambah konstanta p²
Sifat utama
Diakar pangkatkan
Akar x₁dan x₂

Semua persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan dengan cara memfaktorkan, juga bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, seperti contoh 4 dibawah.

Akan tetapi, akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh dari melengkapkan kuadrat sempurna belum tentu bisa dicari dengan cara pemfaktoran.

Misalnya tiga contoh soal pertama persamaan kuadrat dengan koefisien a=1, a>1, dan a<1 berikut ini.

Dibagi Koefisien a

Persamaan kuadrat dengan koefisien a=1 maka langkah dilanjutkan ke langkah (2) konstanta c/a pindah ruas.

$x^2+bx+c= 0\mapsto langkah\;2$

Contoh:

Koefisien a=1

$\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\mapsto langkah\;2$

Dan jika koefisien a>1 atau a<1, maka persamaan kuadrat dibagi dengan koefisien a.

$\vspace{1pc}x^2+bx+c= 0\;(\div a)\\ \vspace{1pc} \frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Contoh:

Koefisien a>1

$\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x - 2 = 0$

Koefisien a<1

$\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0$

2. Konstanta c/a pindah ruas

Prosedur sebenarnya adalah menambahkan kedua ruas dengan konstanta -c/a.

Hanya saja langkah ini akan lebih mudah dipahami dengan cara memindahkan konstanta c/a dari ruas kiri ke ruas kanan.

Kedua Ruas	Pindah Ruas
$\vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a}\\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$	$\vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Seperti yang terlihat hasil akhirnya sama, namun cara “Pindah Ruas” jauh lebih mudah dari cara “Kedua Ruas”.

Untuk koefisien a=1, maka konstanta c yang pindah ke ruas kanan.

$\vspace {1pc} x^2+bx+c= 0\\ \vspace{1pc}x^2+bx= -c$

Contoh:

Koefisien a=1

$\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7$

Sedangkan untuk koefisien a>1 atau a<1, maka konstanta c/a pindah ke ruas kanan.

$\vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Contoh:

Koefisien a>1

$\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2$

Koefisien a<1

$\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1$

3. Ditambah konstanta p²

Rumus mencari nilai p²untuk koefisien a=1, yaitu:

$p^2=(\frac{1}{2}(b))^2=(\frac{b}{2})^2$

Dan menambahkan nilai p² kedua ruas, sehingga ruas kiri persamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat sempurna.

$\vspace{1pc}x^2+bx=-c\\ \vspace{1pc}x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=-c+(\frac{b}{2})^2\\ x^2+bx+p^2=-c+p^2$

Contoh:

Koefisien a=1

$\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}b=-10\mapsto p^2=(\frac{b}{2})^2=(\frac{-10}{2})^2=(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2$

Kemudian rumus nilai p²untuk koefisien a>1 dan a<1:

$p^2=(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=(\frac{b}{2a})^2$

Tambahkan nilai p² ke ruas kiri dan kanan.

$\vspace{1pc}x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\ \vspace{1pc}x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\ x^2+\frac{b}{a}x+p^2=-\frac{c}{a}+p^2$

Contoh:

Koefisien a>1

Koefisien a<1

4. Sifat utama

Dua sifat utama melengkapi persamaan kuadrat sempurna, yaitu:

x²+ 2px + p²= (x + p)²= q, q ≥ 0 … Sifat (1)

x²+ 2(-p)x + (-p)²= (x – p)²= q, q ≥ 0 ….. Sifat (2)

Namun, jika cara tersebut membingungkan maka khusus untuk koefisien a=1 bisa menggunakan cara pemfaktoran.

Contoh koefisien a=1

Prosedur Sifat Utama

$\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}p=-5\mapsto 2p=2(-5)=-10\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\ \vspace{1pc}x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18$

Prosedur Pemfaktoran

$\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2-10x+25=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)(x-5)=18\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18$

Sedangkan untuk koefisien a>1 dan a<1, sebaiknya gunakan sifat utama.

Contoh:

Koefisien a>1

Koefisien a<1

5. Akar pangkatkan kedua ruas

Mengakar pangkatkan kedua ruas:

$\vspace{1pc}(x+p)^2=q\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+p)^2}=\sqrt{q}\\ x+p=\sqrt{q}$

Contoh:

Koefisien a=1

Koefisien a>1

$\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ \vspace{1pc} (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+\frac{7}{4})^2}=\sqrt{\frac{81}{16}}\\ \vspace{1pc} x+\frac{7}{4}=\pm\;\frac{9}{4}$

Koefisien a<1

6. Akar x₁ dan x₂

Cara menghitung akar x₁ dan x₂:

$\vspace{1pc}x+p=\pm\;\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x+p=-\sqrt{q} \mapsto x=-p-\sqrt{q}$

Contoh:

Koefisien a=1

$\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{18}\\ \vspace{1pc}x-5=\pm\;3\sqrt{2}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x-5=3\sqrt{2}\mapsto x=5+3\sqrt{2}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x-5=-3\sqrt{2}\mapsto x=5-3\sqrt{2}$

Koefisien a>1

Koefisien a<1

$\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc} x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ \vspace{1pc}(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x-\frac{8}{6}=\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}+\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{7}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x-\frac{8}{6}=-\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}-\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{7}$

pak-dibyo

Cari Blog Ini

Pemfaktoran 1

Cara Penyelesaian

Dibagi Koefisien a

2. Konstanta c/a pindah ruas

3. Ditambah konstanta p²

4. Sifat utama

5. Akar pangkatkan kedua ruas

6. Akar x₁ dan x₂

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Galaxy A50s dan A30s spesifikasinya

Tentang ct-scan

Bilangan dan operasi hitungan

pak-dibyo

Pemfaktoran 1

Cara Penyelesaian

Dibagi Koefisien a

2. Konstanta c/a pindah ruas

3. Ditambah konstanta p2

4. Sifat utama

5. Akar pangkatkan kedua ruas

6. Akar x1 dan x2

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Galaxy A50s dan A30s spesifikasinya

Tentang ct-scan

Bilangan dan operasi hitungan

3. Ditambah konstanta p²

6. Akar x₁ dan x₂