Langsung ke konten utama

Pemfaktoran 1

Oleh
Pemfaktoran 1
Pernah mencoba memfaktorkan persamaan kuadrat namun tidak bisa memperoleh nilai akar-akarnya?
Padahal anda paham betul rumus, cara menghitung, menyelesaikan, mengerjakan, atau mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran. Lalu apa sebenarnya masalahnya?
Masalahnya terletak pada persamaan kuadrat yang tidak bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi, tapi “mungkin” saja bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Cara Penyelesaian

Konsep dasar dari metode melengkapkan persamaan kuadrat sempurna adalah merubah persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0.
Menggunakan dua sifat utama kuadrat sempurna: x2 + 2dx + d2 = (x+d)2 = 0 dan x2 – 2dx + d2 =(x – d)2 = 0.
Menjadi bentuk umum melengkapkan persamaan kuadrat sempurna: (x + p)2 = q, atau (x – p)2 = q, q ≥ 0.
melengkapkan kuadrat sempurna
Berikut ini prosedur menentukan akar-akar persamaan kuadrat cara melengkapi bentuk kuadrat sempurna.
\vspace{1pc} ax^2+bx+c=0\;(\div a)\\ \vspace{1pc} \frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=-\frac{c}{a}+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\ \vspace{1pc} Misalkan\; (\frac{b}{2a})=p\\ \vspace{1pc}maka\;x^2+2px+p^2=-\frac{c}{a}+p^2\\ \vspace{1pc} Misalkan -\frac{c}{a}+p^2=q,\;maka\\ \vspace{1pc} (x+p)^2=q\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+p)^2}=\pm\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}x+p=-\sqrt{q}\mapsto x=-p-\sqrt{q}
Dari prosedut tersebut, jika diuraikan maka cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna:
  1. Dibagi koefisien a
  2. Konstanta c/a pindah ruas
  3. Ditambah konstanta p2
  4. Sifat utama
  5. Diakar pangkatkan
  6. Akar x1 dan x2
Semua persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan dengan cara memfaktorkan, juga bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, seperti contoh 4 dibawah.
Akan tetapi, akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh dari melengkapkan kuadrat sempurna belum tentu bisa dicari dengan cara pemfaktoran.
Misalnya tiga contoh soal pertama persamaan kuadrat dengan koefisien a=1, a>1, dan a<1 berikut ini.
  1. Dibagi Koefisien a
Persamaan kuadrat dengan koefisien a=1 maka langkah dilanjutkan ke langkah (2) konstanta c/a pindah ruas.
x^2+bx+c= 0\mapsto langkah\;2
Contoh:
Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\mapsto langkah\;2
Dan jika koefisien a>1 atau a<1, maka persamaan kuadrat dibagi dengan koefisien a.
\vspace{1pc}x^2+bx+c= 0\;(\div a)\\ \vspace{1pc} \frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
Contoh:
Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x - 2 = 0
Koefisien a<1
\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0
2. Konstanta c/a pindah ruas
Prosedur sebenarnya adalah menambahkan kedua ruas dengan konstanta -c/a.
Hanya saja langkah ini akan lebih mudah dipahami dengan cara memindahkan konstanta c/a dari ruas kiri ke ruas kanan.
Kedua RuasPindah Ruas
\vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a}\\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
Seperti yang terlihat hasil akhirnya sama, namun cara “Pindah Ruas” jauh lebih mudah dari cara “Kedua Ruas”.
Untuk koefisien a=1, maka konstanta c yang pindah ke ruas kanan.
\vspace {1pc} x^2+bx+c= 0\\ \vspace{1pc}x^2+bx= -c
Contoh:
Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7
Sedangkan untuk koefisien a>1 atau a<1, maka konstanta c/a pindah ke ruas kanan.
\vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
Contoh:
Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2
Koefisien a<1
\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1
3. Ditambah konstanta p2
Rumus mencari nilai p2 untuk koefisien a=1, yaitu:
p^2=(\frac{1}{2}(b))^2=(\frac{b}{2})^2
Dan menambahkan nilai p2 kedua ruas, sehingga ruas kiri persamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat sempurna.
\vspace{1pc}x^2+bx=-c\\ \vspace{1pc}x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=-c+(\frac{b}{2})^2\\ x^2+bx+p^2=-c+p^2
Contoh:
Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}b=-10\mapsto p^2=(\frac{b}{2})^2=(\frac{-10}{2})^2=(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2
Kemudian rumus nilai p2 untuk koefisien a>1 dan a<1:
p^2=(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=(\frac{b}{2a})^2
Tambahkan nilai p2 ke ruas kiri dan kanan.
\vspace{1pc}x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\ \vspace{1pc}x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\ x^2+\frac{b}{a}x+p^2=-\frac{c}{a}+p^2
Contoh:
Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc}a=2,\;b=7\\ \vspace{1pc}p^2=(\frac{b}{2a})^2=(\frac{7}{2(2)})^2=(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2
Koefisien a<1
\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc}a=-3,\;b=8\\ \vspace{1pc} p^2=(\frac{b}{2a})^2=(\frac{8}{2(-3)})^2=(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2
4. Sifat utama
Dua sifat utama melengkapi persamaan kuadrat sempurna, yaitu:
x2 + 2px + p2 = (x + p)2 = q, q ≥ 0 … Sifat (1)
x2 + 2(-p)x + (-p)2 = (x – p)2 = q, q ≥ 0 ….. Sifat (2)
Namun, jika cara tersebut membingungkan maka khusus untuk koefisien a=1 bisa menggunakan cara pemfaktoran.
Contoh koefisien a=1
Prosedur Sifat Utama
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}p=-5\mapsto 2p=2(-5)=-10\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\ \vspace{1pc}x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18
Prosedur Pemfaktoran
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2-10x+25=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)(x-5)=18\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18
Sedangkan untuk koefisien a>1 dan a<1, sebaiknya gunakan sifat utama.
Contoh:
Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc}p=\frac{7}{4}\mapsto 2p=2(\frac{7}{4})=\frac{7}{2}\\ \vspace{1pc} x^2+ 2px+p^2=(x+p)^2=q\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ \vspace{1pc} (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}
Koefisien a<1
\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc}p=-\frac{8}{6}\mapsto 2p=2(-\frac{8}{6})=-\frac{8}{3}\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\ \vspace{1pc} x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ \vspace{1pc}(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}
5. Akar pangkatkan kedua ruas
Mengakar pangkatkan kedua ruas:
\vspace{1pc}(x+p)^2=q\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+p)^2}=\sqrt{q}\\ x+p=\sqrt{q}
Contoh:
Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{18}\\ \vspace{1pc}x-5=\pm\;3\sqrt{2}
Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ \vspace{1pc} (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+\frac{7}{4})^2}=\sqrt{\frac{81}{16}}\\ \vspace{1pc} x+\frac{7}{4}=\pm\;\frac{9}{4}
Koefisien a<1
\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc} x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ \vspace{1pc}(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}
6. Akar x1 dan x2
Cara menghitung akar x1 dan x2:
\vspace{1pc}x+p=\pm\;\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x+p=-\sqrt{q} \mapsto x=-p-\sqrt{q}
Contoh:
Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{18}\\ \vspace{1pc}x-5=\pm\;3\sqrt{2}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x-5=3\sqrt{2}\mapsto x=5+3\sqrt{2}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x-5=-3\sqrt{2}\mapsto x=5-3\sqrt{2}
Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ \vspace{1pc} (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+\frac{7}{4})^2}=\sqrt{\frac{81}{16}}\\ \vspace{1pc} x+\frac{7}{4}=\pm\;\frac{9}{4}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}\mapsto x=\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=\frac{1}{2}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}\mapsto x=-\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=-4
Koefisien a<1
\vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc} x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ \vspace{1pc}(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x-\frac{8}{6}=\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}+\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{7}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x-\frac{8}{6}=-\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}-\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{7}

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

soal dan pembahasan kimia teori atom

Oleh
Soal dan bahasan kimia bab teori atom   Pokok teori atom thomson dititikberatkan pada . . . . A. Atom terdiri dari elektron - elektron B. Elektron sebagai penyusun utama atom C. Atom sebagai bola masif yang hanya berisi elektron D. Atom sebagai bola masif bermuatan positif yang di dalamnya tersebar elektron sehingga keseluruhannya bersifat netral E. proton dan elektron adalah bagian penyusun atom yang keduanya saling meniadakan. Pembahasan : Teori atom Thomson Atom terdiri dar inti bermuatan positif dan elektron yang menyebar rata di permuakaan atom. Model atom thomson dikenal juga dengan model atom roti kismis. Jawaban : D Soal                   Teori yang menjadi dasar munculnya teori atom modern adalah . . . . A. spektrum atom hidrogen B. tabung sinar katode C. penghamburan sinar alfa D. adanya sinar saluran E. mekanika gelombang Pembahasan : Dasar munculnya teori atom modern adalah adanya teori mekanika g...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Oleh
Persamaan & pertidak samaan kuadrat January 17, 2017 1.    Batas-batas pertidaksamaan 5x – 7 > 13 adalah... a.    x < -4 b.    x > 4 c.    x > -4 d.    x < 4 e.    -4 < x < 4 Pembahasan: 5x – 7 > 13 5x > 20 x > 4 Jawaban: B 2.    Semua bilangan positif x yang memenuhi pertidaksamaan √x < 2x jika... a.    x < ¼ b.    x < 4 c.    x > ¼ d.    x > 4 e.    x ≤ 4 Pembahasan:        x(1 – 4x) < 0        x = 0 dan x = ¼ Karena x harus bilangan positif, maka nilai x yang memenuhi x > ¼ Jawaban: C 3.    Bentuk yang setara (ekuivalen) dengan |4x-5|<13 adalah ... a.    -8 |4x-5| < 13 b.    4x < 18 c.    -8 < 4x < 18 d. ...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

info seputar diabetes militus

Oleh
Info seputar diabetes militus KELAINAN KENCING MANIS KARENA SISTEM ENDOKRIN Pendahuluan Diabetes Mellitus pada anak dan remaja berbeda dengan DM yang terjadi pada masa dewasa. DM pada masa anak dan remaja selalu tergantung pada insulin ( Insulin Dependent Diabetes Mellitus IDDM) DM pada anak dan remaja merupakan salah satu penyakit yang serius oleh karena banyak kasus yang masuk dalam kegawatan, menderita komplikasi ketoasidosis yang mungkin dapat menyebabkan kematian DM pada anak dan remaja juga merupakan suatu penyakit yang dapat mempengaruhi cara hidup keluarga sepanjang kehidupannya. Secara genetik, etiologi dan fisiologi kedua type DM berbeda dalam karakter penyakit sehingga  dapat dilihat perbedaan dalam penampilan klinik nya Perbedaan penampilan klinik IDDM dan NIDDM Angka kejadian IDDM pada laki dan perempuan sama 2012 Di USA sebesar 15 per 100.000anak pertahun. Terdapat perbedaan angka kejadian yang mencolok berdasarkan geografik. Di Asia angka ke...
Posting Komentar
Baca selengkapnya