Matematika parabola
Untuk menentukan posisi garis pada parabola, hal yang perlu diperhatikan adalah nilai diskriminan (D) = b² - 4ac, yakni:
1. Garis dan parabola berpotongan pada dua titik berbeda.
Syarat: D > 0
2. Garis dan parabola bersinggungan.
Syarat: D = 0
3. Garis dan parabola tidak berpotongan atau bersinggungan.
Syarat: D < 0
Untuk lebih jelasnya, simak kumpulan soal hubungan parabola dan garis berikut.
Soal dan Pembahasan Hubungan Parabola dan Garis
Soal 1 (SPMB 2006)
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) dan menyinggung garis y = 2x + 1 adalah .....
A. 4y - 2x² + 2x = 0
B. 2y + x² - 3x = 0
C. 4y + x² - 4x = 0
D. 2y - 2x² + 3x = 0
E. 2y - x² + 2x = 0
Pembahasan:
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) : y₁ = a(x - 2)² + 1
Persamaan garis : y₂ = 2x + 1
Karena saling bersinggungan, maka y₁ = y₂.
a(x - 2)² + 1 = 2x + 1
a(x² - 4x + 4) + 1 = 2x + 1
ax² - 4ax + 4a + 1 = 2x + 1
ax² - 4ax -2x + 4a = 1 - 1
ax² - (4a + 2)x + 4a = 0
Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(4a + 2)² - 4(a)(4a) = 0
16a² + 16a + 4 - 16a² = 0
16a + 4 = 0
16a = -4
a = -4/16
a = -1/4
Dengan demikian, persamaan parabolanya:
y₁ = -¼ (x - 2)² + 1
y₁ = -¼ (x - 2)² + (4/4)
4y = -(x² - 4x + 4) + 4
4y = -x² + 4x - 4 + 4
4y = -x² + 4x + 0
4y + x² - 4x = 0
(Jawaban: C)
Soal 2 (SPMB 2006)
Garis y = x + 8 memotong parabola y = ax² - 5x - 12 di titik P(-2,6) dan titik Q. Koordinat titik Q adalah .....
A. (5,13)
B. (4,12)
C. (3,11)
D. (2,10)
E. (2,9)
Pembahasan:
Parabola y = ax² - 5x - 12
Karena melalui P(-2,6), maka:
6 = a(-2)² - 5(-2) - 12
⟺ 6 = 4a + 10 - 12
⟺ 6 = 4a - 2
⟺ 4a = 6 + 2
⟺ 4a = 8
⟺ a = 8/4
⟺ a = 2
Kedua kurva berpotogan, maka y₁ = y₂
2x² - 5x - 12 = x + 8
2x² - 5x - 12 - x - 8 = 0
2x² - 6x - 20 = 0
x² - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Untuk x = 5, maka:
y = x + 8
= 5 + 8
= 13
Jadi, koordinat titik Q adalah (5,13)
(Jawaban: A)
Soal 3 (SPMB 2005)
Jika garis y = 7x - 3 menyinggung parabola y = 4x² + ax + b di titik (1,4), a dan b konstanta maka (a - b) = .....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
y = 4x² + ax + b
Karena melalui (1,4), maka:
4 = 4(1)² + a(1) + b
4 = 4 + a + b
a + b = 4 - 4
a + b = 0
a = -b
Kedua kurva bersinggungan, maka y₁ = y₂
4x² + ax + b = 7x - 3
4x² + ax + b - 7x + 3 = 0
4x² + (a - 7)x + (b + 3) = 0
Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(a - 7)² - 4(4)(b + 3) = 0
Karena a = -b, maka:
(-b - 7)² - 4(4)(b + 3) = 0
⟺ b² + 14b + 49 - 16b - 48 = 0
⟺ b² - 2b + 1 = 0
⟺ (b - 1)² = 0
⟺ b - 1 = 0
⟺ b = 1
Karena a = -b maka a = -1
a - b = -1 - 1
= -2
Jadi (a - b) = -2
(Jawaban: A)
Soal 4 (SPMB 2005)
Parabola y = x² memotong garis y = x + 2 di titik A dan B. Panjang ruas garis AB adalah.....
A. 2
B. 3
C. 2√3
D. 3√2
E. 4
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² = x + 2
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Untuk x = 2, y = 2² = 4 ⟹ titik A(2,4)
Untuk x = -1, y = (-1)² = 1 ⟹ titik B(-1,1)
Jarak AB =(xA−xB)2+(yA−yB)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
=(2−(−1))2+(4−1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
=9+9−−−−√
=18−−√
= 3√2
(Jawaban: D)
Soal 5 (SPMB 2004)
Titik potong parabola y = mx² + x + m, m ≠ 0 dengan garis y = (m + 1)x + 1 adalah (x₁ , y₁) dan (x₂,y₂). Jika x₁² + x₂² = 1 maka nilai m adalah .....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
mx² + x + m = (m + 1)x + 1
mx² + x + m = mx + x + 1
mx² - mx + (m - 1) = 0
(x₁ + x₂) = -b/a = -m/m = 1
(x₁ . x₂) = c/a = (m - 1)/m
x₁² + x₂² = 1
⟺ (x₁ + x₂)² - 2(x₁.x₂) = 1
⟺ (1)² - 2[m−1m] = 1
⟺m−2m+2m = 1
⟺ -m + 2 = 1 x m
⟺ -m + 2 = m
⟺ -m - m = -2
⟺ -2m = -2
⟺ m = -2/-2
⟺ m = 1
(Jawaban: D)
Soal 6 (SPMB 2004)
Agar parabola y = x² - px + 3 dipotong garis y = 2x - 1 di dua titik maka
A. p < -6 atau p > 2
B. p < -4 atau p > 4
C. p < -2 atau p > 6
D. -6 < p < 2
E. -4 < p < 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² - px + 3 = 2x - 1
x² - px + 3 - 2x + 1 = 0
x² - (p + 2)x + 4 = 0
Syarat memotong di dua titik, D > 0
b² - 4ac > 0
(p + 2)² - 4(1)(4) > 0
p² + 4p + 4 - 16 > 0
p² + 4p - 12 > 0
(p + 6)(p - 2) > 0
Nilai p yang memenuhi: p < -6 atau p > 2
(Jawaban: A)
Soal 7 (UM - UGM 2003)
Parabola y = x² + ax + 6 dan garis y = 2mx + c berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang maka ordinat titik C adalah .....
A. 4m² + 2ma + c
B. 4m² - 2ma + c
C. 2m² + ma + c
D. 2m² - ma + c
E. 2m² - 2ma + c
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² + ax + 6 = 2mx + c
x² + ax + 6 - 2mx - c = 0
x² + (a - 2m)x + (6 - c) = 0
Absis C(titik tengah A dan B) adalah:
xc =xA+xB2
= -b2a
=2m−a2
Subtitusi nilai xc ke persamaan garis y = 2mx + c
yc = 2m[2m−a2] + c
= 2m² - ma + c
(jawaban: D)
Soal 8 (UMPTN 2001)
Syarat agar grafik fungsi linear f(x) = mx - 2 menyinggung grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x² + x - 1 adalah .....
A. m = 5
B. m = 3
C. m = 3 atau m = 5
D. m = -3 atau m = 5
E. m = -3 atau m = -5
Jawaban:
Kedua kurva bersinggungan ketika y₁ = y₂
4x² + x - 1 = mx - 2
4x² + x - 1 - mx + 2 = 0
4x² + (1 - m)x + 1 = 0
Syarat menyinggung, D = 0
b² - 4ac = 0
(1 - m)² - 4(4)(1) = 0
1 - 2m + m² - 16 = 0
m² - 2m - 15 = 0
(m - 5)(m + 3) = 0
m = 5 atau m = -3
(Jawaban: D)
Demikian postingan "Kumpulan Soal Hubungan Parabola dan Garis" kali ini, mudah-mudahan dari beberapa soal di atas dapat membantu pembaca dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan hubungan parabola dan garis.
Kumpulan Soal Hubungan Parabola dan Garis
ID-KU - Hubungan parabola dan garis yang dimaksud disini adalah posisi garis pada parabola yang meliputi garis menyinggung parabola, garis memotong parabola dan garis tidak memotong atau menyinggung parabola.
1. Garis dan parabola berpotongan pada dua titik berbeda.
Syarat: D > 0
Syarat: D = 0
3. Garis dan parabola tidak berpotongan atau bersinggungan.
Syarat: D < 0
Untuk lebih jelasnya, simak kumpulan soal hubungan parabola dan garis berikut.
Soal 1 (SPMB 2006)
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) dan menyinggung garis y = 2x + 1 adalah .....
A. 4y - 2x² + 2x = 0
B. 2y + x² - 3x = 0
C. 4y + x² - 4x = 0
D. 2y - 2x² + 3x = 0
E. 2y - x² + 2x = 0
Pembahasan:
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) : y₁ = a(x - 2)² + 1
Persamaan garis : y₂ = 2x + 1
Karena saling bersinggungan, maka y₁ = y₂.
a(x - 2)² + 1 = 2x + 1
a(x² - 4x + 4) + 1 = 2x + 1
ax² - 4ax + 4a + 1 = 2x + 1
ax² - 4ax -2x + 4a = 1 - 1
ax² - (4a + 2)x + 4a = 0
Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(4a + 2)² - 4(a)(4a) = 0
16a² + 16a + 4 - 16a² = 0
16a + 4 = 0
16a = -4
a = -4/16
a = -1/4
Dengan demikian, persamaan parabolanya:
y₁ = -¼ (x - 2)² + 1
y₁ = -¼ (x - 2)² + (4/4)
4y = -(x² - 4x + 4) + 4
4y = -x² + 4x - 4 + 4
4y = -x² + 4x + 0
4y + x² - 4x = 0
(Jawaban: C)
Soal 2 (SPMB 2006)
Garis y = x + 8 memotong parabola y = ax² - 5x - 12 di titik P(-2,6) dan titik Q. Koordinat titik Q adalah .....
A. (5,13)
B. (4,12)
C. (3,11)
D. (2,10)
E. (2,9)
Pembahasan:
Parabola y = ax² - 5x - 12
Karena melalui P(-2,6), maka:
6 = a(-2)² - 5(-2) - 12
⟺ 6 = 4a + 10 - 12
⟺ 6 = 4a - 2
⟺ 4a = 6 + 2
⟺ 4a = 8
⟺ a = 8/4
⟺ a = 2
Kedua kurva berpotogan, maka y₁ = y₂
2x² - 5x - 12 = x + 8
2x² - 5x - 12 - x - 8 = 0
2x² - 6x - 20 = 0
x² - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Untuk x = 5, maka:
y = x + 8
= 5 + 8
= 13
Jadi, koordinat titik Q adalah (5,13)
(Jawaban: A)
Soal 3 (SPMB 2005)
Jika garis y = 7x - 3 menyinggung parabola y = 4x² + ax + b di titik (1,4), a dan b konstanta maka (a - b) = .....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
y = 4x² + ax + b
Karena melalui (1,4), maka:
4 = 4(1)² + a(1) + b
4 = 4 + a + b
a + b = 4 - 4
a + b = 0
a = -b
Kedua kurva bersinggungan, maka y₁ = y₂
4x² + ax + b = 7x - 3
4x² + ax + b - 7x + 3 = 0
4x² + (a - 7)x + (b + 3) = 0
Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(a - 7)² - 4(4)(b + 3) = 0
Karena a = -b, maka:
(-b - 7)² - 4(4)(b + 3) = 0
⟺ b² + 14b + 49 - 16b - 48 = 0
⟺ b² - 2b + 1 = 0
⟺ (b - 1)² = 0
⟺ b - 1 = 0
⟺ b = 1
Karena a = -b maka a = -1
a - b = -1 - 1
= -2
Jadi (a - b) = -2
(Jawaban: A)
Soal 4 (SPMB 2005)
Parabola y = x² memotong garis y = x + 2 di titik A dan B. Panjang ruas garis AB adalah.....
A. 2
B. 3
C. 2√3
D. 3√2
E. 4
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² = x + 2
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Untuk x = 2, y = 2² = 4 ⟹ titik A(2,4)
Untuk x = -1, y = (-1)² = 1 ⟹ titik B(-1,1)
Jarak AB =
=
=
=
= 3√2
(Jawaban: D)
Soal 5 (SPMB 2004)
Titik potong parabola y = mx² + x + m, m ≠ 0 dengan garis y = (m + 1)x + 1 adalah (x₁ , y₁) dan (x₂,y₂). Jika x₁² + x₂² = 1 maka nilai m adalah .....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
mx² + x + m = (m + 1)x + 1
mx² + x + m = mx + x + 1
mx² - mx + (m - 1) = 0
(x₁ + x₂) = -b/a = -m/m = 1
(x₁ . x₂) = c/a = (m - 1)/m
x₁² + x₂² = 1
⟺ (x₁ + x₂)² - 2(x₁.x₂) = 1
⟺ (1)² - 2
⟺
⟺ -m + 2 = 1 x m
⟺ -m + 2 = m
⟺ -m - m = -2
⟺ -2m = -2
⟺ m = -2/-2
⟺ m = 1
(Jawaban: D)
Soal 6 (SPMB 2004)
Agar parabola y = x² - px + 3 dipotong garis y = 2x - 1 di dua titik maka
A. p < -6 atau p > 2
B. p < -4 atau p > 4
C. p < -2 atau p > 6
D. -6 < p < 2
E. -4 < p < 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² - px + 3 = 2x - 1
x² - px + 3 - 2x + 1 = 0
x² - (p + 2)x + 4 = 0
Syarat memotong di dua titik, D > 0
b² - 4ac > 0
(p + 2)² - 4(1)(4) > 0
p² + 4p + 4 - 16 > 0
p² + 4p - 12 > 0
(p + 6)(p - 2) > 0
Nilai p yang memenuhi: p < -6 atau p > 2
(Jawaban: A)
Soal 7 (UM - UGM 2003)
Parabola y = x² + ax + 6 dan garis y = 2mx + c berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang maka ordinat titik C adalah .....
A. 4m² + 2ma + c
B. 4m² - 2ma + c
C. 2m² + ma + c
D. 2m² - ma + c
E. 2m² - 2ma + c
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² + ax + 6 = 2mx + c
x² + ax + 6 - 2mx - c = 0
x² + (a - 2m)x + (6 - c) = 0
Absis C(titik tengah A dan B) adalah:
xc =
= -
=
Subtitusi nilai xc ke persamaan garis y = 2mx + c
yc = 2m
= 2m² - ma + c
(jawaban: D)
Soal 8 (UMPTN 2001)
Syarat agar grafik fungsi linear f(x) = mx - 2 menyinggung grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x² + x - 1 adalah .....
A. m = 5
B. m = 3
C. m = 3 atau m = 5
D. m = -3 atau m = 5
E. m = -3 atau m = -5
Jawaban:
Kedua kurva bersinggungan ketika y₁ = y₂
4x² + x - 1 = mx - 2
4x² + x - 1 - mx + 2 = 0
4x² + (1 - m)x + 1 = 0
Syarat menyinggung, D = 0
b² - 4ac = 0
(1 - m)² - 4(4)(1) = 0
1 - 2m + m² - 16 = 0
m² - 2m - 15 = 0
(m - 5)(m + 3) = 0
m = 5 atau m = -3
(Jawaban: D)
Demikian postingan "Kumpulan Soal Hubungan Parabola dan Garis" kali ini, mudah-mudahan dari beberapa soal di atas dapat membantu pembaca dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan hubungan parabola dan garis.
Komentar
Posting Komentar