soal logaritma dan penyelesaian nomer 1-4

Soal logaritma dan penyelesaian

1.  UN 2004

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-8)<0$ adalah...
A.  {x/ −2 < x < 2}
B.  {x/ −2√2 < x < 2√2}
C.  {x/ x < −3 atau x > 3}
D.  {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E.  {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}

Pembahaan :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0

Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2  .................... (1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < ${}^{\frac{1}{2}}$log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3  ..............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3

Jawaban : C


2.  UN 2005
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $2logx\le log(2x+5)+2log2$ adalah...
A.  $-\frac{5}{2}$ < x ≤ 10
B.  −2 ≤ x ≤ 10
C.  0 < x ≤ 10
D.  −2 < x < 0
E.  $-\frac{5}{2}$ ≤ x < 10

Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2

Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > $-\frac{5}{2}$
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10

Jawaban : C


3.  UN 2006
Nilai x yang memenuhi persamaan ${}^{2}log{}^{2}log\left(2^{x+1}+3\right)=1+{}^{2}logx$ adalah...
A.  ²log 3
B.  ³log 2
C.  log$\frac{2}{3}$
D.  −1 atau 3
E.  8 atau $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
²log ²log(2^x+1 + 3) = 1 + ²log x

Syarat logaritma :
* 2^x+1 + 3 > 0 → x ∈ R
* ²log(2^x+1 + 3) > 0  → x ∈ R
* x > 0

Penyelesaian persamaan logaritma :
²log ²log(2^x+1 + 3) = 1 + ²log x
²log ²log(2^x+1 + 3) = ²log 2 + ²log x
²log ²log(2^x+1 + 3) = ²log 2x
²log(2^x+1 + 3) = 2x
2^2x = 2^x+1 + 3
 2^2x − 2^x+1 − 3 = 0
 (2^x)² − 2^x.2¹ − 3 = 0

Misalkan 2^x = y
 y² − 2y − 3 = 0
(y + 1)(y − 3) = 0
y = −1 atau y = 3

2^x = −1 → x ∉ R
2^x = 3 ⇔ x = ²log 3

Jawaban : A


4.  UN 2006
Penyelesaian pertidaksamaan $log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)$adalah...
A.  x > 6
B.  x > 8
C.  4 < x < 6
D.  −8 < x < 6
E.  6 < x < 8

Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)

Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4  .............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x² + 4x − 32 < 2x + 16
x² + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6

Jawaban : C


https://smatika.blogspot.com/2017/02/pembahasan-soal-ujian-nasional-logaritma.html?m=1