melengkapkan kuadrat sempurna kelas 11

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Pro: Dyas

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika koefisien a dibuat agar bernilai 1. PK dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ diubah bentuk menjadi persamaan:

$(x + p)^2 = q$

Dengan p dan q adalah konstanta serta x adalah variabel. Nilai dari konstanta p dan q dari persamaan $x^2 + bx + c = 0$ didapatkan dengan cara:

$p = \frac{1}{2}b$

$q = (\frac{1}{2}b)^2 - c$

Perubahan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut :

$(x + p)^2 = q$

$(x + \frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c$

$x^2 + bx + (\frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c$

$x^2 + bx + c = 0$

Rumus abc

Metode rumus abc ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ didapatkan dari rumus abc berikut:

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Sehingga, akar-akarnya adalah

$x_1 = \frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat ditentukan dengan mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dalam rumus abc sebagai :

$D = b^2 - 4ac$

Sehingga rumus abc menjadi:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm sqrt{D}}{2a}$

Tanda akar diskriminan $( \sqrt{D} )$ dalam rumus abc menentukan jenis dari akar-akar persaaman kuadrat, apakah bilangan real atau tidak real. Sehingga jenis akar-akar PK $ax^2 + bx + c = 0$ adalah:

Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real.
Jika D > 0 maka akar-akarnya real ( $x_1, x_2 \in R$ ) dan berbeda ( $x_1 \neq x_2$ ).
Jika D = 0 maka akar-akarnya real ( $x_1, x_2 \in R$ ) dan sama atau kembar ( $x_1 = x_2$ ).

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c$ dapat dilakukan tanpa harus mengetahui nilai dari akar-akarnya. Jumlah akar-akar dapat diperoleh dengan :

$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$= - \frac{2b}{2a} = - \frac{b}{a}$

Sedangkan hasil kali akar-akar dapat diperoleh dengan:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$= \frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{(2a)^2}$

$\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Dari penjabaran tersebut dapat diketahui bahwa :

Penjumlahan akar-akar $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ .
Perkailan akar-akar $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .

Ada beberapa bentuk pernyataan matematika yang bisa dirubah kedalam ( $x_1 + x_2$ ) dan ( $x_1 \cdot x_2$ ). Tujuan dari perubahan bentuk ini untuk memudahkan dalam peyelesaian persoalan. Perubahan ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut ini sebagai contoh bentuk-bentuk perubahan:

$x_1 + x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2$
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 (x_1 \cdot x_2)(x_1 + x_2)$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{(x_1 + x_2)}{(x_1 \cdot x_2)}$

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Suatu persamaan kuadrat baru dapat dibentuk jika diketahui nilai dari akar-akarnya. Hal tersebut dapat dilakukan dengan memasukan atau mensubstitusi nilai dari akar-akar yang telah diketahui kedalam persamaan

$(x - x_1)(x - x_2)$

atau

$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 . x_2)$

Suatu persamaan kuadrat baru juga dapat dibentuk walaupun tidak ada diketahui nilai dari akar-akarnya. Dengan syarat, akar-akar tersebut memiliki hubungan atau relasi dengan akar-akar dari PK yang lain.