pertidaksamaan kuadrat

Pertidak samaan kuadrat

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangidengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi denganbilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masingdikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²

Pertidaksamaan Linear

→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Contoh:

Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:

1. Ruas kanan dibuat menjadi nol
2. Faktorkan
3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol
4. Gambar garis bilangannya

Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

5. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

6. Tentukan himpunan penyelesaian

→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)

→ jika tanda  pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:
(2x – 1)² ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x² – 4x + 1 ≥ 5x² – 5x – 3x + 3 – 7
4x² – 4x + 1 – 5x² + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x² + 4x + 5 ≥ 0
–(x² – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
Garis bilangan:

• menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
• karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
• karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

→ Variabel berpangkat lebih dari 2
Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
(2x + 1)².(x² – 5x + 6) < 0
(2x + 1)².(x – 2).(x – 3) < 0
Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
Garis bilangan:

• menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
• karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
• karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
• selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
• karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:

1. Ruas kanan dijadikan nol
2. Samakan penyebut di ruas kiri
3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

6. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Contoh 1:

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
Garis bilangan:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}

Contoh 2:

Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b² – 4.a.c = 1² – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

→ variabelnya berada dalam tanda akar
Penyelesaian:

1. Kuadratkan kedua ruas
2. Jadikan ruas kanan sama dengan nol
3. Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
4. Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

Contoh 1:

Kuadratkan kedua ruas:
x² – 5x – 6 < x² – 3x + 2
x² – 5x – 6 – x² + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0
Semua dikali –1:
2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4
Syarat 1:
x² – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1
Syarat 2:
x² – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}

Contoh 2:

Kuadratkan kedua ruas:
x² – 6x + 8 < x² – 4x + 4
x² – 6x + 8 – x² + 4x – 4 < 0
–2x + 4 < 0
–2x < –4
Semua dikalikan –1
2x > 4
x > 2
Syarat:
x² – 6x + 8 ≥ 0
(x – 4).(x – 2) ≥ 0
Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)
Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian:
Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

Contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
berarti:
–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4

Contoh 2:
|3x + 7| > 2
berarti:
3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x > –5/3

Contoh 3:
|2x – 5| < |x + 4|
Kedua ruas dikuadratkan:
(2x – 5)² < (x + 4)²
(2x – 5)² – (x + 4)² < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0    (Ingat! a² – b² = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}

Contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1
Kedua ruas dikuadratkan:
(4x – 3)² ≥ (x + 1)²
(4x – 3)² – (x + 1)² ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0
x = 2/5 atau x = 4/3
Syarat:
x + 1 ≥ 0
x ≥ –1
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}

Contoh 5:
|x – 2|² – |x – 2| < 2
Misalkan |x – 2| = y
y² – y < 2
y² – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1) < 0
Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0
y = 2 atau y = –1
Garis bilangan:

Artinya:
–1 < y < 2
–1 < |x – 2| < 2
Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku
|x – 2| < 2
Sehingga:
–2 < x – 2 < 2
–2 + 2 < x < 2 + 2
0 < x < 4